1、设△PBC垂心为H。
2、连接AH。
3、连接PH延长交BC于M,连接AM。
(资料图片仅供参考)
4、在△PAM中做PN垂直于AM。
5、由题目中的向量OA+向量OB+向量OC=零向量条件可知O点为△ABC的重心(你画画图就一目了然了,而且这是个重要性质,常用到)。
6、又因为PM⊥BC,且AH⊥BC(AH⊥面PBC),所以BC⊥面PAM。
7、所以BC⊥PN。
8、又因为PN⊥AM,所以PN⊥面ABC,所以N与O点重合。
9、因为BC⊥面PAM,所以AM⊥BC,即AM既是BC边垂线又是BC边中线,所以AB=AC。
10、因为M为BC中点,所以PM也是其中线,所以PB=PC。
11、设PB=PC=a,MB=MC=b,所以PM=根号下(a^2-b^2).连接BH延长交PC于K。
12、则BK为高线。
13、根据△BMH∽△PCM可求出MH=b^2/根号下(a^2-b^2).在△PAM中,有△AMH∽△PMO,又因为AO=2OM。
14、所以AM/PM=MH/OM.可求出AM=(根3)b/3.这样因为PA=6,且AO=(2根3)b/3,所以PO=根号下(36-4b^2/3).这样三棱锥体积为PO*AM*BC/6=根号下(36-4b^2/3)*(根3)b*2b/6=根号下[(36-4b^2/3)*(2b^2/3)*(2b^2/3)]*(根3)/2=<根号下{[(36-4b^2/3+2b^2/3+2b^2/3)/3]^3}*(根3)/2=36(最后这一步运用了基本不等式)【【不清楚,再问;满意, 请采纳!愿你开☆,祝你好运!!】】。
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